作者：桂。
时间：2017-04-04 08:13:14
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【读书笔记11】
前言
西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版第八章：最小二乘法。全文主要包括：
1）矩阵方程问题描述；
2）最小二乘法；
3）最小二乘与最大似然的关系；
4）最小二乘与梯度下降的关系；
内容为自己的学习记录，其中有借鉴他人的地方，最后一并给出链接。
一、矩阵方程问题描述
A-基本问题描述
许多问题都可以建模成矩阵方程：
${\bf{Ax}} = {\bf{b}}$
其中根据向量
和矩阵
的不同，矩阵方程的求解主要分为以下三类问题：
1）超定矩阵方程；m>n，$\bf{b}$和$\bf{A}$均已知，其中之一或二者可能存在观测误差、干扰；
2）盲矩阵方程：仅向量$\bf{b}$已知，矩阵$\bf{A}$未知；
3）欠定稀疏矩阵方程：m<n，$\bf{b}$和$\bf{A}$均已知.
每一类问题，都有对应的方法：如对于超定矩阵方程，观测结果足够多，方程个数大于未知数个数，对应矩阵通常列满秩（不绝对），可以利用最小二乘得到唯一确定解；对于欠定矩阵方程，方程个数小于未知数个数，得出的解有多种可能，所以通常需要添加约束——例如稀疏性，虽然解有多种，最稀疏的可能只用一种，这要就得到了唯一确定解。给出问题与对应求解的示意图：
多说一句，例如对于欠定系数矩阵求解，核心问题为：
这也是稀疏表示和压缩感知的核心问题，由于不免带有噪声，问题通常松弛为：
B-最小二乘问题
最小二乘根据噪声类型的不同，可以分为：普通最小二乘、数据最小二乘、总体最小二乘。
- 普通最小二乘（Ordinary least squares, OLS）
此时，向量$\bf{b}$（观测向量）带有误差，对应的问题是：
- 数据最小二乘（Data least squares，DLS）
此时，数据矩阵$\bf{A}$带有误差，对应的问题是：
- 总体最小二乘（Total least squares, TLS）
此时，数据矩阵$\bf{A}$和数据矩阵$\bf{A}$都带有误差，对应的问题是：
本文仅分析超定方程情况，且只讨论普通最小二乘（OLS）问题。
二、普通最小二乘求解
普通最小二乘也常被简称为：最小二乘法，但细化问题后其实有些乱，这里仍打算采用普通最小二乘这一说法。
问题描述：
求偏导：
这下就熟悉啦，直接走你，就得到常见的表达式：
怎么错了？这里只是超定方程（m>n），并没有说列一定满秩，所以分两种情况讨论：
情况1：列满秩，rank($\bf(A) $) = n
此时 $\left( {
{ {\bf{A}}^T}{\bf{A}}} \right)$可逆，对应的解唯一，从而有：
情况2：秩亏缺，rank($\bf(A) $) < n
这种情况下，需要借助Moore-Penrose进行广义逆求解，在前文已有介绍，从而有：
秩亏缺情况下，得到的解不再是唯一的，但基于Moore-Penrose的解是唯一的，这就不免有一个问题——它是增加了何种约束？这里直接给出结论：此时的解为最小范数最小二乘解（minimum norm least squares solution），或者说此时向量对应欧式距离最短.证明可参考：张贤达《矩阵分析与应用第2版》p67.
三、普通最小二乘与最大似然
给出数学模型（以多项式拟合为例，N次拟合，共M组样本点）：
普通最小二乘准则函数：
最大似然准则：
假设误差均服从(0,$\delta^2$)的正态分布，则有似然函数：
求对数之后，最大似然准则函数等价于：
二者等价。
四、最小二乘与梯度下降
上文一个大前提就是方程可以转化为线性变换：
${\bf{Ax}} = {\bf{b}}$
但很多时候不能实现问题的转化，非线性没有闭式解，这个时候仍然可以借助梯度下降求解，。梯度下降是迭代的方式去逼近最优解，虽然可能是局部最优；而最小二乘是利用矩阵的形式直接得出结果。
参考：
- 张贤达《矩阵分析与应用》.